An den Grenzen des Endlichen: Das Hilbertprogramm im Kontext by Christian Tapp

By Christian Tapp

​David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts place schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen.​

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Hilberts Auseinandersetzungen mit Frege lassen hervortreten, was das konzeptionell Neue an Hilberts Verständnis von Axiomatik ist. Eine Diskussion von Kriterien für Axiome hebt dann besonders auf den zentralen Begriff der Widerspruchsfreiheit ab (Kap. 3). In der klassischen Trias mathematikphilosophischer Positionen – „Logizismus, Intuitionismus, Formalismus“ – gilt der Formalismus gemeinhin als die Position Hilberts. Da man mit von Neumann festhalten muß, daß es für das Verständnis der Hilbertschen Position unerläßlich ist, die beiden anderen Positionen zu kennen, werden zunächst Logizismus und Intuitionismus als Kontext des HP behandelt (Kap.

8). Die Klärung, wie sich das hier entwickelte Bild des Hilbertprogramms zu diesen beiden Themen verhält, wird die konzeptionelle Diskussion im ersten Teil dieses Buches zunächst abschließen. Dieser Abschluß ist vorläufig, da das Bild im zweiten und dritten Teil wesentlich ergänzt werden wird, in denen es um die konkrete Durchführung des HP und drei wichtige sachliche Herausforderungen geht. Besonders letztere sind bedeutsam, denn gerade die Diskussion von Einwänden verlangt nach einer schärferen Konturierung der gesamten Konzeption.

3 Was die Beweistheorie, die sich auf das Hilbertprogramm beruft, selbst darunter versteht, ist in einer Hinsicht weiter, in einer anderen Hinsicht enger als Axiomatisierung. Dazu wird später noch Näheres zu sagen sein. Hilbert verfolgte mit der Beweistheorie grundlagentheoretische Ziele. Es ging ihm, so hielt er im Vorwort zum ersten Band des Hilbert-Bernays fest, darum, 1 Nach Sieg, Hilbert’s Programs [1999], 27, werden die heute als charakteristisch geltenden Ausdrücke „finite Mathematik“ und „Hilbertsche Beweistheorie“ zum ersten Mal in der von Hilbert gehaltenen und von Paul Bernays ausgearbeiteten Vorlesung vom Wintersemester 1921/22 verwendet; vgl.

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