Arbeitsbuch Algebra: Aufgaben und Lösungen mit ausführlichen by Christian Karpfinger

By Christian Karpfinger

Dieses Buch erleichtert Ihnen den Einstieg in das eigenständige Lösen von Aufgaben zur Algebra, indem es Ihnen nicht einfach nur Aufgaben mit Lösungen, sondern vor allem auch Hinweise zur Lösungsfindung und ausführliche Motivationen bietet.

Damit ist das Werk excellent geeignet zur Prüfungsvorbereitung, wenn Sie ein tieferes Verständnis der Algebra entwickeln wollen oder wenn Sie sich gerne an kniffligen Aufgaben einer faszinierenden mathematischen Disziplin versuchen.

In den mehr als three hundred Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade durchleuchten wir die grundlegenden algebraischen Strukturen Gruppen, Ringe und Körper, wie sie typischerweise in einer Anfängervorlesung für Mathematikstudierende behandelt werden.

Vielfach berufen wir uns in den Lösungen auf Sätze, Lemmata und Korollare des Buches Algebra, Gruppen –Ringe – Körper von Ch. Karpfinger und ok. Meyberg.

Der Autor

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

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U / summiert wird. 2 (Algebrabuch) besitzt Zn zu jedem Teiler d 2 N von n genau eine zyklische Untergruppe Ud der Ordnung d . 2 (Algebrabuch) ist nur eine Richtung zu zeigen und zwar: Falls es zu jedem Teiler d von n D jGj höchstens eine zyklische Untergruppe U mit P jU j D d gibt, so ist G zyklisch. U /j. d / D n ; 0

Damit erhalten wir die Quadrate 1, 25, 31, 19, 43, 5, 17, 47, 41. 12 (Algebrabuch) (mit n D 2 33 ). 33 / D 2 33 12 23 D 18. n; x/ D 1 gilt. Diese Teilerfremdheit, d. h. n; x/ D 1, lässt sich leicht mit dem euklidischen Algorithmus (siehe Abschn. 3 (Algebrabuch)) verifizieren. Sind n und x teilerfremd, so bestimme man ganze Zahlen r und s mit 1 D r x C s n. Modulo n besagt diese Gleichheit 1 D r x. 1001; 222/ D 1 D Somit gilt 222 C 1001 Z 2 Z1001 , und es gilt 55 1001 C 248 222. 222 C 1001 Z/ D 1 C 1001 Z ; sodass 248 C 1001 Z das Inverse zu 222 C 1001 Z ist.

Wir wählen eine Untergruppe U von G und zeigen, dass U metazyklisch ist, d. , dass sie einen zyklischen Normalteiler V enthält, für den U=V wieder zyklisch ist. Für V bietet sich U \ N an, diese Untergruppe der zyklischen Gruppe N ist nämlich wieder zyklisch. Und nach dem 1. 12 (Algebrabuch) ist V D U \ N ein Normalteiler von U . Zu zeigen bleibt, dass U=V zyklisch ist. Wir schreiben U=V wieder aus: U=V D U=U \ N und beachten erneut den 1. 12 (Algebrabuch). Es gilt hiernach U=U \ N Š U N=N ; und U N=N ist als Untergruppe der zyklischen Gruppe G=N natürlich wieder zyklisch, also auch U=V .

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